Эйлер (Леонгард, Euler) - один из величайших математиков XVIII столетия, родился в 1707 г., в Базеле. Отец его, Павел Эйлер, был пастором в Рихене (близ Базеля) и имел некоторые познания в математике, приобретенные под руководством Якова Бернулли (III, 575). Отец предназначал своего сына к духовной карьере, но сам интересуясь математикой, преподавал ее и сыну, надеясь, что она ему впоследствии пригодится в качестве интересного и полезного занятия. По окончании домашнего обучения молодой Эйлер был отправлен отцом в Базель для слушания философии. Обладая отличной памятью, Эйлер скоро и легко усвоил себе этот предмет и нашел время поближе ознакомиться с тем, к чему его влекло призвание, то есть с геометрией и математическими предметами. Профессор Иоанн Бернулли (III, 575) очень скоро обратил внимание на Эйлера и нашел в нем необыкновенный талант. Он предложил молодому человеку заниматься с ним отдельно в особые часы для разъяснения неясностей и затруднений, которые встречались в сочинениях, рекомендуемых профессором Эйлеру для изучения. Получив в 1723 г. степень магистра, после произнесения речи на латинском языке о философии Декарта и Ньютона, Эйлер, по желанию отца своего, приступил к изучению восточных языков и богословия. Способности его преодолели и эти предметы, но влечение к математическим наукам развивалось все более и более. Частые беседы с Иоанном Бернулли о вопросах математических в кругу семейства профессора дали Эйлеру случай познакомиться с двумя сыновьями Иоанна, а именно Николаем и Даниилом Бернулли. Общее влечение к математике соединило их с Эйлером дружбой, и дружба эта повела Эйлера по новому пути. В 1725 г. Николай и Даниил Бернулли были приглашены в члены Петербургской Академии Наук, недавно основанной императрицей Екатериной I во исполнение намерений Петра Великого . Уезжая, молодые Бернулли обещали Эйлеру известить его, если найдется и для него подходящее занятие в России. На следующий год они сообщили, что для Эйлера найдется место, но, однако, в качестве физиолога при медицинском отделении академии. Узнав об этом, Эйлер немедленно записался в студенты медицины Базельского университета. Прилежно и успешно изучая науки медицинского факультета, Эйлер находил время и для занятий по математическим предметам; за это время он написал напечатанную потом в 1727 г. в Базеле диссертацию о распространении звука (”Dissertatio physico de sono”) и исследование по вопросу о размещении мачт на корабле (”Meditationes super problemate nautico de complantatione malorum”). Последнее, написанное на тему, предложенную французской академией, было принято академией в 1727 г. как достойное премии и напечатано в изданиях ее. Ту же работу, в качестве диссертации, Эйлер защищал для получения профессуры по кафедре физики в Базельском университете. Занять место профессора ему здесь не удалось и он отправился в Петербург, где, по рекомендации академиков Германна и Даниила Бернулли, был назначен адъюнктом академии по математике и немедленно деятельно и прилежно стал работать, представляя академии исследования по разным вопросам прикладной математики. Почти в день приезда Эйлера скончалась покровительница академии императрица Екатерина I, и событие это печально отозвалось на судьбе академии. Новые порядки и новое управление стали угрожать даже самому существованию молодого учреждения. Иностранным академикам пришлось подумывать о возвращении на родину. Эйлер решился принять сделанное ему предложение о поступлении в морскую службу. Адмирал Сиверс, предугадывая пользу, которую может принести флоту такой ученый, выхлопотал для Эйлера чин лейтенанта флота и обещал дальнейшее скорое повышение по службе. Однако вследствие выхода нескольких академиков и отъезда их на родину, Эйлеру предложили получить оставшееся вакантным место профессора физики, которое он и занял; затем в 1733 г. он был сделан академиком на место, оставшееся свободным после отъезда друга его Даниила Бернулли за границу. Обладая громадным талантом, Эйлер вместе с тем обладал необыкновенным трудолюбием; соединением этих двух качеств и объясняется многочисленность и полезность его трудов. В 1735 г. потребовалось в академии выполнить одну весьма сложную работу. По мнению академиков, на это нужно было употребить несколько месяцев труда. Эйлер взялся выполнить это в три дня и исполнил работу, но вследствие этого заболел нервной горячкой с воспалением правого глаза, которого он и лишился. Вскоре после этого, в 1736 г., появились два тома его аналитической механики (”Mechanica, sive motus scientia analytice exposita”, Petrop.). Потребность в этой книге была большая; немало было написано статей по разным вопросам механики, но хорошего трактата по механике не имелось, а существовавшие до этого времени трактаты были неудовлетворительны. В 1738 г. появились две части введения в арифметику на немецком языке, в 1739 г. - новая теория музыки (”Tentamen novae theoriae musicae, ex certissimis harmoniae principiis dilucide expositae”, Petrop.). Затем в 1840 г. Эйлер написал сочинение о приливах и отливах морей (”Inquisitio physica in caussam fluxus et refluxus maris”), увенчанное одной третью премии французской академии; две другие трети были присуждены Даниилу Бернулли и Маклорену за сочинения их на ту же тему. Тома II, III, IV, V, VI, VII издания нашей академии: “Commentarii Akad. sc. Petrop.”, вышедшие до 1841 г., и том VIII, вышедший в этом году, заключают значительное число мемуаров Эйлера по различным вопросам чистой и прикладной математики. В 1740 г., по кончине императрицы Анны Иоанновны , началось регентство Бирона . В это жестокое для России время Эйлер получил приглашение от Фридриха Великого переехать в Берлин. Очевидно, что при приглашении этого приобретшего уже известность ученого имелось в виду оживить берлинскую академию, пришедшую в упадок вследствие продолжительной войны. Поощренный вниманием короля, Эйлер собрал около себя небольшое ученое общество, а затем был приглашен в состав вновь восстановленной королевской академии наук и назначен деканом математического отделения. В 1743 г. в томе VII “Miscellanea Berolinensis” он поместил 5 мемуаров, из них 4 по чистой математике и из них последний (”De integratione aequationum differentialium altiorum graduum”) замечателен в двух отношениях. В нем указывается на способ интегрирования рациональных дробей путем разложения их на частные дроби и, кроме того, излагается обычный теперь способ интегрирования линейных обыкновенных уравнений высшего порядка с постоянными коэффициентами. Начиная с 1745 г. стали выходить мемуары возобновленной королевской академии, по тому в год, и в этом издании, в каждом томе, начиная с первого (1745), находим от трех до девяти мемуаров Эйлера. Так продолжалось до тома XXV 1769 г. и даже в 1772 и 1773 годах в новых мемуарах этой академии. Не желая прерывать сношений с петербургской академией, он находил множество материала для других мемуаров, которые наполняют тома от IX (1744) до XIV (1751) “Commentarii”, затем от тома I (1750) до тома XX (1776) “Novi Commentarii Acad. sc. Petrop.” и далее от тома I (1777) до тома IV (1780) издания: “Nova acta Acad. sc. Petrop.”. Кроме этого Эйлер, начиная с 1744 г., написал несколько больших сочинений, изданных отдельно. Так, в 1744 г. напечатано в Лозанне сочинение под заглавием: “Methodus inveniendi lineas curvas maximi minime proprietate gaudentes, sive solutis problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti”. Основным типом вопросов изопериметрических может служить вопрос об определении замкнутой кривой, которая при данном периметре заключают наименьшую площадь. Подобными вопросами интересовались и занимались геометры, современные Эйлеру, и некоторые геометры раньше Эйлера. Вопросы такого рода требуют определения такой функции, чтобы некоторый интеграл, заключающий эту функцию под знаком интеграла, был бы наименьшим или наибольшим. При решении получается некоторое дифференциальное уравнение, которому должна удовлетворять искомая функция. К числу изопериметрических вопросов относятся также вопросы об определении движения материальной системы при условии, чтобы интеграл, выражающий действие (XI, 327; VIII, 66 - 67), был наименьшим или наибольшим. Автор рассматривает все подобные вопросы и приводит их к вопросам об интегрировании дифференциальных уравнений. После него только изложение решения таких вопросов изменилось, но сущность метода осталась та же. В том же 1744 г. напечатаны в Берлине три сочинения о движении светил, первое - теория движения планет и комет, заключающая в себе изложение способа определения орбит их из нескольких наблюдений; второе и третье - о движении комет. По желанию короля Эйлер перевел с английского языка и в 1744 г. издал книгу: “Neue Grundrisse der Artillerie von Robin”, перевод, снабженный объяснениями и примечаниями Эйлера. В сочинении Робинса, известного в истории артиллерии изобретателя баллистического маятника (II, 803), были приведены различные выводы по внешней и внутренней баллистике. Эйлер в своих примечаниях сначала выводит теоретически закон сопротивления в виде двучлена, первый член которого, пропорциональный квадрату скорости, обусловливается ударом снаряда (шарового) о воздух, второй член, пропорциональный четвертой степени скорости, обусловливается перевесом давления сжатых частей струй воздуха на переднюю часть над давлением разреженных частей струй на заднюю. Получаемые при этом законе формулы баллистики представляются в весьма сложном виде, неудобном для употребления. Позднее в мемуаре: “Recherches sur la veritable courbe que decrive les corps jetes dans l’air…” (”Mem. de Berlin”, 1753) он ограничивается первым членом и получает формулы баллистики шарового снаряда удобно применимые. В 1746 г. напечатаны три тома разных статей (”Varia Opuscula”), в числе которых между прочим находятся статьи по механике: решение вопроса о движении материальных точек, остающихся внутри движущегося канала, о возмущениях в движении планет и сопротивлении движению со стороны эфира, о движении гибких тел; по физике: “Recherches sur la nature des moindres particules des corps”, “Sur la lumiere et couleurs”, “Dissertatio de magnete”. За теорию магнитных явлений, основанную на предположении о протекании эфира через промежутки между атомами, автор получил премию французской академии. В 1748 г. издана в Лозанне книга в двух томах: “Introductio in analysin infinitrum”, упрочившая славу Эйлера как первостепенного математика. Почти все то, что преподается и теперь в курсах высшей алгебры и высшего анализа, находится в этой книге. В первом томе ее с необыкновенной ясностью и простотой изложены свойства функций рациональных и трансцендентных: тригонометрических, круговых, показательных и логарифмических, разложение последних в ряды, представление их в виде бесконечных произведений; свойства непрерывных дробей. Во втором томе аналитическое исследование кривых линий вообще и кривых второго, третьего и четвертого порядка и поверхностей второго порядка. В 4-й главе этой части выведены формулы преобразования координат прямоугольных в прямоугольные же при перемене начала координат и направления осей; здесь впервые вводятся те три угла, которые называются Эйлеровыми углами и играют в кинематике твердого тела существенную роль. В 1749 г. издана в Петербурге в двух томах “Scientia navalis, seu tractatus de constructione ac dirigendis navibus”. Это полное и систематическое сочинение по навигации, заключающее в себе теорию равновесия и устойчивости судов, рассмотрение вопросов о качке на зыби, о форме судов и кораблестроении, о движении судов силой ветра и управлении судном. Сочинению этому предшествовали некоторые мемуары автора в разных ученых изданиях, из которых два были увенчаны премиями французской академии. От короля и от императрицы автор получил за это сочинение значительные денежные награды. Оно было переведено на языки итальянский, английский и русский. В 1773 г., когда Эйлер был уже в Петербурге, сочинение это было издано в более понятном для моряков изложении под заглавием: “Theorie complete de la construction et des manoevres des vaisseaux”. В 1755 г. в Берлине издано было в двух томах сочинение: “Institutiones calculi differentialis, cum eius usi in analysi finitorum ac doctrina serierum”. Книга эта заключает в себе систематическое и полное изложение оснований дифференциального исчисления и применений его к учению о рядах, к решению уравнений, к нахождению наибольших и наименьших значений функций, к раскрытию неопределенных выражений. Занимаясь вопросами о преломлении лучей света и написав немало мемуаров об этом предмете, Эйлер издал в 1762 г. сочинение: “Constructio lentium objectivarum ex duplici vitro” (Petrop.), в котором предлагается устройство сложных объективов с целью уменьшения хроматической аберрации. Английский художник Доллонд, открывший два различной преломляемости сорта стекла, следуя указаниям Эйлера, построил первые ахроматические объективы. В 1765 г. механика Эйлера была дополнена сочинением: “Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum Rostoch.”, в котором находятся те дифференциальные уравнения вращения твердого тела, которые носят название Эйлеровых уравнений вращения твердого тела. Много написал Эйлер мемуаров об изгибе и колебании упругих стержней; эти вопросы были также одним из предметов исследований Даниила Бернулли. Вопросы эти интересны не только в математическом, но и в практическом отношении. Один из таких вопросов есть вопрос о так называемом продольном изгибе, рассматриваемый в мемуаре: “Sur la force des colonnes”, помещенном в томе XIII (1759) мемуаров берлинской академии. К числу весьма важных для практической механики предметов, которыми занимался Эйлер, относится предложенное им очертание зубцов по разверткам круга; об этом говорится в статьях томов V и XI “Novi Comment. Acad. Petrop.”. Фридрих Великий, вполне оценивший гениальный талант и обширные познания великого геометра, давал ему поручения чисто инженерного характера; так, в 1749 г. он поручил ему осмотреть канал Фуно между Гавелем и Одером и указать необходимые исправления в недостатках этого водного пути; далее поручено было исправить водоснабжение в Сан-Суси. По поводу этого появилось немало статей по гидравлике, написанных Эйлером в разное время. Биографы Эйлера утверждают, что он очень желал вернуться в Россию. В 1766 г. он получил через посла в Берлине, князя Долгорукова , приглашение императрицы Екатерины II вернуться в Академию Наук на всяких условиях, каких бы Эйлер ни пожелал. Несмотря на уговоры остаться, делавшиеся со стороны особ королевского дома, он принял приглашение и в июне месяце прибыл в Петербург. Только что он поселился в доме, купленном для него на счет императрицы, как подвергся тяжкой болезни, после которой потерял зрение левого глаза вследствие образования катаракты. Благодаря услугам окружающих его лиц и сыновей его, Эйлер, несмотря на потерю зрения, при своих гениальных способностях и замечательной памяти, диктовал свои дальнейшие мемуары и издавал отдельные свои книги. К числу последних принадлежит “Institutionum calculi integralis”, изданная в Петербурге в 1768 - 1770 гг. в трех томах и переизданная в 1792 - 1794 гг., после смерти автора, в 4 томах. Эта замечательная книга заключает в себе решение множества вопросов точного или приближенного интегрирования дифференциальных уравнений обыкновенных разных степеней и порядков и дифференциальных уравнений с частными производными, а кроме того, здесь же находится и вариационное исчисление. В 1770 г. издано введение в алгебру, в 1769 - 1771 гг. - “Dioptrica” в трех томах. В 1772 г. - “Theoria motuum Lunae”. За сочинение “Theorie de la Lune et specialement sur l’equation seculaire”, напечатанное в 1770 г., автор получил премию французской академии. По гидродинамике автор написал более двадцати мемуаров. Уравнения гидродинамики первого порядка с частными производными от проекций скорости, плотности и давления называются гидродинамическими уравнениями Эйлера. Эйлеру принадлежит доказательство соотношения между числом вершин, ребер и граней многогранника. Соотношение это такое: сумма числа вершин и граней равна числу ребер плюс два. Такое соотношение подозревал Декарт, но Эйлер доказал его в мемуарах: 1) “Elementa doctrinae solidorum”; 2) “Demonsratio nonullarum insignium proprietatum…” оба в IV томе “Novi Comment. Petrop.”, Эйлеру принадлежит весьма много мемуаров по теории чисел. В них он доказал многие свойства чисел, данные раньше его без доказательства. Так он доказал и обобщил известную в теории сравнений теорему Фермата. Он также доказал, что всякое простое число вида 4n + 1 всегда разлагается на сумму квадратов других двух чисел. С 1769 по 1783 гг. Эйлер написал около 380 статей и сочинений. Неутомимость и настойчивость в научных исследованиях Эйлера были таковы, что в 1773 г., когда сгорел его дом и погибло почти все имущество его семейства, он и после этого несчастья продолжал диктовать свои исследования. Вскоре после пожара искусный окулист, барон Вентцель, произвел операцию снятия катаракты, но Эйлер не выдержал надлежащего времени без чтения и ослеп окончательно. В 1783 г. Эйлер скончался от апоплексического удара в присутствии своих помощников при работах профессоров Крафта и Лекселя . Похоронен он в Петербурге на Смоленском кладбище. Три сына его и их дети остались в России. Самым лучшим памятником его славы и научной деятельности было бы полное издание всех его статей и сочинений, число которых простирается до 756, но для этого потребуются значительные средства, так как число печатных листов будет около 2000. Биографиями Эйлера могут служить: “Eloge de M. Leonard Euler par N. Fuss” (СПб., 1782; здесь список сочинений и статей Эйлера); “L’introduction a l’analyse des infiniment petits de M. Euler, traduit du latin par M. Pezzi, precede l’eloge de M. Euler par de Condorcet” (Страсбург, 1786). Очерк некоторых сочинений и статей Эйлера находится в книге “Vorlesungen uber Geschichte der Mathematik von Moritz Cantor” (Лейпциг, Teubner, тома I, II, 1900; III, 1898). Д. Бобылев.